INISIASI II BANJAR DAN DERET

INISIASI II

BANJAR DAN DERET

Banjar adalah sekumpulan bilangan (suku) yang memiliki pola tertentu.

                   S₁, S_2, S₃, ….. S_n             

Di mana  S₁ : Suku ke-1

               S₂ : Suku ke-2

               S_n : Suku ke-n

Deret adalah penjumlahan semua suku pada suatu banjar.

                  D_n = S₁ + S₂ + S₃ +…+ S_n

Di mana  D_n : Deret ke-n

A.   Banjar Hitung

Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Suku kedua merupakan suku pertama ditambah pembeda, suku ketiga merupa suku kedua ditambah pembeda, dan seterusnya.

Banjar hitung :

                  S₁, S₂, S₃,…..,S_n

 Di mana   S₂ = S₁ + b

                  S3 = S2 + b

                  b = Pembeda

Suku pada banjar hitung dapat dicari dengan rumus :

                        S_n = a + (n-1)b

 Di mana :        a : Suku ke-1

                        n   : Banyaknya suku

                        b   : Beda

Contoh :

1. Suatu banjar 6, 13, 20, ……, dst. Berapa suku ke-10?

     Diketahui :                      

                     a = 6

                     b   = 7

                     n   = 10

                     S_n  = a + (n – 1).b

                   S₁₀ = 6 + (10 – 1) . 7

                   S₁₀ = 6 + 9 .7

                   S₁₀ = 69

 2. Suatu banjar hitung suku pertamanya 15 dan suku kedua 27. Berapa suku ke-12 ?

      Diketahui :                    

                   a = 15

                   S₂ = 27

                    b  = 27 – 15 =12

                 S_n   = a + (n – 1).b

                 S₁₂  = 15 + (12 – 1) . 12

                         = 15 + 11 . 12

                         = 15 + 132  = 147

 3. Suatu banjar hitung suku keempatnya 25 dan suku keenam 35. Berapa beda dan suku pertamanya?

      Diketahui :                     

                   25 = a + (4 – 1) b

                   35 = a + (6 – 1) b

                        25 = a +(4-1)b

                        35 = a +(6-1)b    -

                        -10 = -2b

                            b = 5

                                     

                    25 = S₁ + 3 . 5

                    S₁ = 25 – 15

                    S₁ = 10

 4.  Suatu banjar hitung memiliki suku pertama 15, suku kelima 3. Berapa bedanya dan berapa suku ke-20?

      Diketahui :

    a= 15

    S₅ = 3

               S₅ = a + (5 – 1) b

     3 = 15 + 4b

                      4b = 3 – 15

                       4b = -12

                         b = -3

                 S₂₀ = a + (20 – 1) . -3

                 S₂₀ = 15 + (19) . -3

                 S₂₀ = 15 – 57

                  S₂₀ = -42

B. Deret Hitung

Deret hitung adalah penjumlahan n suku pada banjar hitung.

               D_n = S₁ + S₂ + S₃ +…+ S_n

Contoh :

Suatu banjar hitung memiliki suku-suku 5, 10, 15, 20….. Berapa deret keempatnya?

             D₄ = S₁ + S₂ + S₃ +S₄

             D₄ = 5+10+15+20

             D₄ = 50

 Untuk menghitung deret hitung dengan n yang lebih banyak tentu saja sulit dilakukan dengan cara di atas, untuk itu digunakan rumus :

            D_n = ½. n (a + S_n)

  Di mana :

             D_n = deret ke-n

               n = banyaknya suku

             a = suku pertama

             S_n = suku ke-n

 Contoh :

1.  Hitunglah deret ke-5 dari banjar hitung 3, 6, 9, 12, ……

     Diketahui :

             a = 3

              b  = 3

            Hitung dulu S₅ :

             S_n = a + (n – 1) b

             S₅ = 3 + (5 – 1) 3

             S₅ = 3 + 4 . 3

             S₅ = 3 + 12 = 15

            Deret ke-5 adalah :

             D_n = ½ n (a + S_n)

             D₅ = ½ . 5 (3 + 15)

             D₅ = ½ (15 + 75)

             D₅ = ½ (90) = 45

 2.  Suatu banjar hitung suku pertamanya 15 dan suku kedua 27. Berapa deret ke-10?

     Diketahui :

             a = 15

             S₂ = 27

               b = 27 – 15 = 12

            Hitung dulu S₁₀ :

             S₁₀ = 15 + (10 – 1) 12

             S₁₀ = 15 + 9 . 12

             S₁₀ = 15 + 108

             S₁₀ = 123

             Deret ke-10 adalah :

             D₁₀ = ½ . 10 (123 + 15)

             D₁₀ = 5 (138)

             D₁₀ = 690

3.  Suatu banjar hitung memiliki suku ketiga 15 dan suku keenam 30. Berapa deret keenamnya?

     Diketahui :

             S₃ = 15

             S₆ = 30

              S_n = a + (n – 1) b

                        15 = a + (3-1)b

                        30 = a + (6-1)b    -

                        -15 = -3b

                           b = 5

            S₃ = a + (3 – 1) 5

             15 = a + 2 . 5

 a = 15 – 10 = 5

                D_n = ½.n (a + S_n)

    D₆ = ½.6 (5 + 30)

    D₆ = 3 . 35 = 105

C. Banjar Ukur

Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku beruurtan mempunyai hasil bagi yang besarnya sama. Suku kedua merupakan hasil kali suku pertama dengan bilangan tertentu (pengali), dan suku ketiganya merupakan hasil kali dari bilangan kedua dengan pengali, dan seterusnya.

Suku pada banjar ukur dapat dicari dengan rumus :

            S_n = ap^n-1

 Dimana :

             S_n  : Suku ke - n

              n   : Banyaknya suku

              a   : Suku pertama

              p   : Pengali

Contoh :

1.  Suatu banjar 1, 3, 9, ...... Hitung suku ke-5 dan ke-10

     Jawab :

                a = 1

                p = 3

               S_n = ap^n-1

               S₅ = 1 . 3^5-1 = 1 . 3⁴ = 81

              S₁₀= 1 . 3^10-1 = 1 . 3⁹ = 19.683

2.  Suatu banjar ukur suku pertamanya 2 dan suku keduanya 8. Hitunglah suku ke-7 dan suku ke-12 !

     Jawab :

                 a  = 2

                S₂ = 8

                 p  = 4

                S_n = ap^n-1

                S₇ = 2 . 4^7-1 = 2 . 4⁶ = 2 . 4096 = 8192

               S₁₂= 2 . 4^12-1 = 2 . 4¹¹ = 2 (4.194.304) = 8.388.608

  3.  Suatu banjar ukur memiliki suku pertama 25 dan suku ke-5 sebesar 15.625. Hitung suku ke-3 dan suku ke-6 !

     Jawab :

                 a   = 25

                 S₅ = 15.625

                      S_n = ap^n-1

                        S₅ = 25 . p^5-1

                15.625 = 25 . p⁴

                      625 = p⁴

                           p = 5

                           S₃ = ap^3-1

                              = 25 . 5²  =  25 . 25  = 625

                          S₆ = ap^6-1

                              = 25 . 5⁵  = 25 (3.125) = 78.125

D. Deret Ukur

Deret ukur adalah jumlah suku-suku banjar ukur.

                        D_n = a

Di mana :       Dn : Deret ke-n  

                        a  : Suku pertama

                         p  : Pengali

Contoh :

1.  Suatu banjar 1, 3, 9, .....  Hitung deret ke-5 dan ke-10 !

     Jawab :

                a = 1

                p = 3

                S₅ = ap^5-1

                    = 1 . 3⁴ = 1 . 81 = 81

             

               S₁₀ = ap^10-1

                      = 1 . 3⁹ = 1 . 19.683 = 19.683

                    

2.  Suatu banjar ukur memiliki suku pertama 4 dan suku kedua 16. Hitunglah deret ke-4 dan deret ke-6 !

     Jawab :

                 a  = 4

                 S₂ = 16

                 S₂ = ap^2-1

                 16 = 4 . p¹

                  p = 16/4 = 4

                  S₄ = ap^4-1

                     = 4 . 4³

                     = 4 . 64 = 256

                    

                    S₆ = ap^6-1

                         = 4 . 4⁵

                         = 4 (1024) = 4096

                       

Penerapan Dalam Ekonomi

A.    Bunga Pinjaman

Besarnya bunga pinjaman yang harus dibayar dapat dihitung dengan rumus:

                  I =P.r.t

Dimana P = besarnya pokok pinjaman

        r = besarnya bunga yang diberikan dalam setahun

        t = lama meminjam

Contoh:

Budi meminjam uang sebanyak Rp 5.000.000 dengan bunga sebesar 18% pertahun . Berapa lamakah ia meminjam uang tersebut kalau bunga yang harus dibayar sebanyak Rp 900.000?

I = P.r.t

900.000 = 5.000.000.0,18.t

900.000 = 900.000t

t =

t = 1

Budi meminjan uang selama 1 tahun.

B.     Bunga Majemuk

Bunga majemuk yaitu bunga yang dikenakan pada bunga yang dihasilkan.

Misalkan: P = nilai uang awal      i = bunga

Bunga tahun pertama = P.i

Pada akhir tahun pertama jumlah uang menjadi = P+P.i = P(1+i)

Bunga pada tahun kedua = P(1+i)(i)

Pada akhir tahun kedua jumlah uang menjadi:

Future Value (FV) =  nilai uang pada akhir tahun pertama + bunga pada tahun kedua

FV= P(1+i) + P(1+i)(i)

     = P(1+i).{(1+i)}

     = P(1+i)²

Pada akhir tahun ketiga jumlah uang  sebesar = P(1+i)³

Dalam n tahun keseluruhan uang menjadi  FV= P(1+i)ⁿ

Penghitungan keseluruhan uang dengan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun, pada tingkat bunga i pertahun, tingkat bunga setiap periode sebesar i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan bunga) sebanyak n.m  adalah:

                  A = P( 1 + i/m )^n.m

Contoh:

Andi menyimpan uang di Bank sebanyak Rp 1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar 3% yang dibayar oleh bank setiap bulan. Setelah 3 tahun ia ingin mengambil uang simpanannya. Berapa  jumlah yang akan diterima Andi?

                  A = P( 1 + i/m )^n.m

                      = 1.000.000 (1+)^3.12

                      = 1.000.000 (1+ 0,0025)³⁶

                      = 1.000.000 (1,0025)³⁶

                      = 1.000.000 . 1,094051401  =  1.094.051,401

C.    Nilai Sekarang (Present Value)

Nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang dapat dihitung dengan rumus:

                  FV = PV(1 + r)^t

Sedangkan nilai sekarang dari dari jumlah uang sebanyak FV pada t tahun mendatang adalah:

                  PV =

Contoh:

Dua tahun lagi Andi akan menerima uang 10.000.000. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga 12% setahun?

      PV =

      PV =

            =

            =

            =  7.971.938,78