INISIASI KE-V TURUNAN PERTAMA

INISIASI KE-V

TURUNAN PERTAMA

Simbol  yaitu turunan pertama fungsi y=f(x) terhadap x. Selain simbol  untuk menunjukkan turunan pertama, ada simbol-simbol lain yang sering digunakan yaitu: f’(x), y’, , .

Kaidah – kaidah penurunan suatu fungsi yaitu:

1.      Turuan dari suatu konstan adalah sama dengan nol

Jika y = a maka y^’= 0 atau = 0

Contoh:

y = 5 maka = 0

2.      Turunan dari suatu fungsi variabel berpangkat n adalah perkalian antara n dengan variabel tersebut berpangkat (n-1).

Jika y = xⁿ maka y^’= nx^(n-1)

Contoh:

a.       y = x⁴ maka y^’ = 4x³

b.      y = x^-3 maka y^’= -3x^-4

c.       y = xmaka y^’ = x

d.      y = xmaka y^’ = -x

3.      Turunan dari perkalian bilangan konstan dengan suatu fungsi adalah perkalian antara bilangan konstan tersebut dengan turuanan pertama dari fungsi.

Jika y = a.f(x) maka y^’ = a.f^’(x)

Contoh:

a.       y = 8x  maka y^’= 8

b.      y = 4x³  maka y^’ = 4(3x²) = 12x²

c.       y = 3x^-5 maka y^’ = 3(-5x^-6) = -15x^-6

d.      y = -2x maka y^’ = -2(x) = -x

4.      Turunan dari hasil penjumlahan dua fungsi adalah penjumlahan dari turunan masing-masing fungsi itu.

Jika y = f(x) + g(x) maka y^’ = f^’(x) + g^’(x)

Contoh:

a.       y = 2x³ + 4x²  maka y^’ = f^’(2x³) + g^’(4x²) = 6x² + 8x

b.      y = 3x³ + 5x² – 2x maka y^’ = f^’(3x³) + g^’(5x²) – h^’(2x) = 9x² + 10x - 2

c.       y = 6x+ 2x- 3x maka y^’ =f^’(6x) + g^’(2x) – h^’(3x) = 4x+x-3

d.      y = 5x+ 4x +10 maka y^’ = f^’(5x) + g^’(4x) + h^’(10) = 2x+ 4

5.      Turunan dari perkalian dua fungsi adalah sama dengan perkalian antara fungsi pertama dengan turunan fungsi kedua ditambah dengan perkalian antara fungsi kedua dengan turunan fungsi pertama.

Jika y = f(x).g(x) maka y^’ = f(x).g^’(x) + g(x).f^’(x)

Contoh:

a.       y = (2x² + 3)(x+2)

f^’(x) = 4x dan g^’(x) = 1

y^’= (2x² + 3)1 + (x+2)4x

y^’ = 2x² + 3 + 4x² +8x

y^’ = 6x² + 8x +3

b.      y = (3x² + 2x)( x-3)

f^’(x) = 6x+2 dan g^’(x) = 1

y^’ = (3x² + 2x)1 + ( x-3)(6x+2)

y^’ = 3x² + 2x + 6x² +2x -18x -6

y^’ = 9x² -14x -6

c.       y = (x+ 2x)(x²+3)

f^’(x) = (x+ 2) dan g^’= 2x

y^’ = (x+ 2x)( 2x) + (x²+3)( x+2)

y^’ = (+ 4x²) + (+2x² + + 6 )

y^’= + 6x² + + 6

y^’ =

y^’ = 10x³ + 6

d.      y = (2x² +3x)(x+ 6)

f^’(x) = 4x+3 dan g^’(x) = -x

y^’ = (2x² +3x)( -x) + (x+ 6)( 4x+3)

y^’ = -x-x+ 4x+3 x + 24x +18

y^’ = 24x +18

6.      Turunan dari pembagian dua fungsi adalah sama dengan pengurangan antara perkalian fungsi penyebut dan turunan fungsi pembilang denganperkalian fungsi pembilang dengan turunan fungsi penyebut dibagi dengan pangkat dua fungsi penyebut.

Jika y = dimana u = f(x) dan v =g(x) maka y^’=

Contoh:

a.       y =

u = x² + 5x + 6; v = x +3

u^’ = 2x + 5; v^’ = 1

y^’ =

y^’ =

y^’ =

y^’ =

b.      y =

u = x² + 4x + 4, v = x²

u^’= 2x + 4; v^’ = 2x

y^’ =

y^’ =

y^’ =

y^’ =

c.       y =

u = x³ + 6x + 9; v = x² +3x +2

u^’ = 3x² + 6; v^’= 2x+3

y^’ =

y^’ =

y^’ =

y^’ =

d.      y =

u = 1; v = x² + 4

u^’ = 0; v^’ = 2x

y^’ =

y^’ =

y^’=

7.      Turunan suatu fungsi yang berpangkat n adalah sama dengan hasil perkalian antara n dengan fungsi tersebut dipangkatkan (n-1) dan dengan turunan fungsi.

Jika y = uⁿ dimana u= f(x), maka y^’ = nu^n-1u^’

Contoh:

a.       y = (2x² + 4)²

u^’= 4x; n = 2

y^’ = nu^n-1u^’

y^’ = 2(2x² + 4)4x

y^’ = 8x(2x² + 4)

y^’ = 16x³ + 32x

b.      y = (x² + 9)

u^’= 2x; n =

y^’= nu^n-1u^’

y^’ = (x² + 9). 2x

y^’ = x (x² + 9)

y^’ =

c.       y = (x³ + 9)^-2

u^’= 3x² ; n = -2

y^’ = nu^n-1u^’

y^’ = -2(x³ + 9)^-3(3x²)

y^’ = -6x²(x³ + 9)^-3

y^’ =

d.      y = (2x + 3)

u^’ = 2; n =

y^’ = nu^n-1u¹

y^’ = (2x + 3)(2)

y^’ =

8.      Jika y = log u dan u=f(x) maka y^’ =

Contoh:

a.       y = log (x³ + 4)

u = x³ + 4 maka u¹= 3x²

y^’ =

b.      y = log (x² + 4x + 4)

u = x² + 4x + 4 maka u^’ = 2x + 4

y^’ =

9.      Jika y = a^u dimana u = f(x) dan a adalah konstanta maka y^’= a^uln a.u^’

Contoh:

a.       y = 3^(2x+5)

u = 2x + 5 dan a = 3 maka u^’= 2

y^’= a^uln a.u^’

y^’ = 3ln 3.(2x+5)

y^’ = 3 (2x+5) ln 3

                   b.  y = 2

u = x³+ x² + 2x + 2 dan a = 2 maka u^’= 3x² +2x +2

y^’= a^uln a.u^’

y^’ = 2.ln 2.( 3x² +2x +2)

y^’ = 2.( 3x² +2x +2) ln 2